Все новости
Общество
29 Декабря 2011, 18:32

О числе Пи, о трех неразрешимых задачах древности и «математическом гении»

Сегодня мы публикуем материал по следам резонансной статьи о математических исследованиях Рината Мустафина. Автор высказывает свой взгляд.

Фото с сайта www.kniiekotija.ucoz.ru.
Фото с сайта www.kniiekotija.ucoz.ru.
Эта статья – отзыв на текст Светланы Гафуровой о Ринате Гафиятовиче Мустафине и разбор его работы о числе Пи. В материале Светланы утверждается, что Ринат Гафиятович – уроженец Башкортостана, математического образования не имеет, ныне проживает в городе Чебаркуль Челябинской области – является талантливым математиком. В частности, он
1. установил, что число Пи (отношение длины окружности к её диаметру) является непостоянным;
2. решил три классические неразрешимые задачи древности – задачи о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба;
3. в 1962 году вывел неизвестную до этого формулу площади поверхности шара;
4. и на основе этой формулы (п.3) определил, что площадь поверхности нашей планеты (Земли) составляет приблизительно 400 миллионов квадратных километров.
При этом в статье Гафуровой отсутствует информация о том, что хоть какой-нибудь специалист признал работы Мустафина. Объясняется это тем, что Мустафин не оставлял свои работы математикам из-за опасения, что его идеи украдут.
Конечно, приятно, когда твой земляк достигает значимых научных успехов. Однако сведущему в математике человеку ясно, что идеи Мустафина – это, как минимум, серьезный вызов существующему положению вещей в современной математике. Как же так – ведь всегда считалось, что число Пи постоянно! И остальные утверждения Мустафина также противоречат существующим сведениям. Если человек высказывает некую научную идею – он должен ее строго доказать. Даже правдоподобные научные высказывания до момента доказательства имеют статус гипотезы и не считаются верными. (Такая судьба, например, постигла гипотезу Пуанкаре, которая целых 102 года была всего лишь гипотезой, пока ее не доказал Григорий Перельман.) А уж если высказывания неправдоподобны…
Да, иногда бывает и такое, что гениальные и правильные идеи, противоречащие существующему господствующему мнению, не принимаются современниками. Так было, например, с геометрией Лобачевского. Однако на одного действительно гения приходятся тысячи посредственностей, которым только кажется, что они совершили открытие, и пытающихся обкусать ступни гигантов. Три классические задачи на построение всегда привлекали внимание энтузиастов. Тем не менее, еще в 1775 году Парижская академия наук постановила не рассматривать попытки их решения, наряду с проектами вечного двигателя.
Итак, Мустафин смело бросил вызов всей существующей математической науке. Свою статью о числе Пи он предваряет словами: «Попытки доказательства неразрешимости, предпринятые в 1837 году Ванцелем и Линдеманом, на срок более века затормозили развитие математики как науки». (Здесь, видимо, имеется в виду неразрешимость трех классических задач из п. 2 нашего списка.)
Кто же они такие – эти Ванцель и Линдеман?                                                                            
Пьер Ванцель – французский математик, прожил недолгую жизнь, но свое имя вписать в историю успел. Главным образом известен как раз благодаря строгому доказательству неразрешимости двух из трех классических задач, полученному в 1837 году. Для доказательства третьей – задачи о квадратуре круга – ему не хватало имеющихся в науке знаний о числе Пи. Эти знания и были получены в 1882 году прусским математиком Линдеманном (полное имя - Карл Луи Фердинанд Линдеманн де Корель).
Кто же такой был Фердинанд фон Линдеманн? Этот человек прожил долгую и на редкость плодотворную жизнь. Успел побывать ректором Кёнигсбергского университета, опубликовал много важных научных трудов. За свою жизнь выступил в роли научного руководителя для примерно 60 диссертантов, в том числе – для Давида Гильберта, ставшего впоследствии одним из крупнейших математиков начала ХХ века. (Линдеманн и Гильберт – имена, не очень известные для рядового читателя, но про Эйнштейна-то, наверное, все знают? Гильберт принимал деятельное участие в разработке математической части теории относительности.)
И эти двое затормозили развитие математики?                                                                       
Увы, Ринат Гафиятович ошибся. Сенсации не произошло.                                                      
Разберём подробнее пункты нашего списка.                                                                                  
1. Непостоянство числа Пи. Из века в век математики понимали, что число Пи – постоянно. Очевидно, что, увеличивая окружность во сколько-то раз, во столько же раз увеличится и длина её окружности. Строгое доказательство постоянства числа Пи также не составляет труда. На этом фундаменте стоит все величественное здание современной математики, от работ Евклида до запуска ракет в космос. Умнейшим ученым мира, даже с нестандартными идеями (например, Лобачевскому или Эйнштейну) не приходила в голову эта абсурдная мысль.
2. Три классические неразрешимые задачи древности. Как мы уже сказали, для двух из них (трисекции угла и удвоения куба) строгое доказательство неразрешимости было получено в 1837 году французским математиком Пьером Ванцелем. Говоря более общим языком, Ванцель определил, какие построения можно сделать с помощью циркуля и линейки, а какие – нет. Задача о квадратуре круга сводится к определению, входит ли отрезок длиной Пи в множество точек, построение которых из исходных данных возможно. В 1837 году о числе Пи было известно недостаточно, чтобы делать такие утверждения, но в 1882 году прусский математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число Пи является трансцендентным, и, как следствие, задача о квадратуре круга также неразрешима.
Доказательство неразрешимости этих задач, как правило, входит в стандартный вузовский курс геометрии, является достаточно простым и строгим. Если за 174 года, прошедшие со времён появления доказательства, его так и не опровергли – это о чём-то да говорит.
(Ваш покорный слуга, будучи студентом, подробно вник в него в соответствии с учебным планом, как и многие другие.)
Советско-российский математик Виктор Васильевич Прасолов даже написал целую книгу об этих задачах, попытках решения и решениях с выходом за рамки классических условий. Четвертая глава книги - строгое доказательство невозможности решения, адаптированное под уровень школьника.
Но, быть может, Мустафин все-таки обнаружил ошибку в доказательстве Ванцеля? Нет, это не так, и вы в этом убедитесь, ознакомившись с анализом его работы о числе Пи.
3. Формула площади поверхности шара. Формула площади поверхности шара имеет простой и элегантный вид. К сожалению, мне не удалось найти точную дату появления этой формулы. Строгий вывод этой формулы основывается на дифференциальном и интегральном исчислении, и можно с уверенностью сказать, что его уровень в начале XIX века (время Лобачевского, Гаусса и Остроградского) уже был вполне достаточен для получения такой формулы. Вообще же нахождение площади поверхности шара приписывается еще Архимеду – недаром он считал это открытие (наряду с формулой объёма шара) главным достижением своей жизни и просил на своём надгробном камне выбить шар, вписанный в цилиндр. Ни о каком открытии этой формулы в 1962 году не может быть и речи.
4. Площадь поверхности Земли. Я не знаю, какую формулу принимает Мустафин за формулу площади шара. Земля представляет собой шар, незначительно сплюснутый с полюсов. Известно, что средний радиус Земли составляет примерно 6371 километр. Таким образом, можно самостоятельно определить, что площадь поверхности имеет значение, недалёкое от 510 млн. кв. км. Ни о каких 400 млн. кв. км. не может быть и речи.
Светлана Гафурова любезно согласилась выслать нам скан первой страницы работы Мустафина – той, где он рассуждает о числе Пи. (Желающие могут ознакомиться с ней здесь, см. внизу страницы). Разберем его статью. Цитаты мы будем выделять курсивом.
«Но что, если взять окружность длиной точно 1 метр (по эталонному метру) и определить эту же длину по формуле С=2*Пи*R ? В этом случае мы не получим искомый метр». Автор ошибается. Если мы разделим 1 м на, а потом обратно умножим на, исходный метр получится.
«Истинный размер (длина) любой окружности определяется по формуле C=R*7-1/2 хорды, или же С=D*3.5 -1/2 хорды. В данном случае хорда есть линия, проведённая между двумя радиусами прямоугольного треугольника». Утверждения о том, что длина окружности вычисляется так – абсолютно бездоказательны. Под «прямоугольным треугольником» автор, видимо, имеет в виду половинку вписанного в окружность квадрата (хотя такие вещи в доказательствах принято описывать явно). Сам оборот «между радиусами прямоугольного треугольника» ужасающе неграмотен – даже несведущий человек знает, что у треугольников радиусов нет, они есть только у «круглых» фигур. Если додумать за автора и подсчитать, то оказывается, что
Пи= 0.5*(7-2^(-0.5)) =3.1464466 , что действительно не сильно отличается от общепринятого значения. Но, повторюсь – какого-либо доказательства этого факта нет.
«Еще проще гипотенуза прямоугольного треугольника, длину этой гипотенузы мы определяем по теореме Пифагора». Похоже, автор забыл слово «вычисляется», как будто пишет не научную статью, многократно проверяемую, а ответ на экзамене при недостатке времени.
Далее автор предлагает другую формулу длины окружности. Из его рассуждений следует, что отношение длины окружности к диаметру равно 10^0.5 . Это значение, кстати, принималось как приближение пи в древности у разных народов.
При чтении дальнейших рассуждений желательно иметь перед глазами рисунок Мустафина (см. ниже).
«При развёртывании любой окружности, мы получаем такой прямоугольник…» Поскольку окружность – это линия, а не фигура, обладающая площадью, при развертывании окружности мы должны получить также линию. «…, где линия MN (длина) – сторона прямоугольника, которая равна ½ длины окружности. Как найти длину одной из сторон прямоугольника?» Имеется в виду MN, другая-то нам известна. «В данную окружность строим вписанный квадрат ABCD» - математики обычно говорят – впишем квадрат в окружность, ну да ладно, «образуется два прямоугольного треугольника КДГ и СГД» (правильно – образуется два прямоугольных треугольника) «гипотенуза каждого равно ¼» (не равно, а равна) «длины окружности» - абсолютно безосновательное утверждение! Далее: «или длине двух диагоналей прямоугольника ГСДК». Во-первых, гипотенуза каждого из этих прямоугольных треугольников равна длине не двух, а одной упомянутой диагонали. Во-вторых, эта гипотенуза равна 0.5*10^0.5*r , а длина окружности тут пока не фигурирует. Все дальнейшие рассуждения автора неверны и безосновательны.
Далее автор решил написать историю про египтян и инопланетян. Кто знает, может, так оно и было, но убедительности «математическим» выкладкам это не придаёт.
Главное во всём этом, разумеется, не грамматические ошибки, а то, что автор высказывает произвольные мысли, не подкреплённые доказательствами, поэтому итоговые результаты никак не могут считаться верными.
Автор:Бенин Ярослав Владиславович
Читайте нас: